Question

函数f（x）=x³+ax²-bx+c，a，b，c∈R，已知方程f（x）=0有三个实根x₁，x₂，x₃，即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
（1）求x₁+x₂+x₃，x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃和x₁x₂x₃的值．（结果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

Answer

（1）由已知，x3+ax2-bx+c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），比较两边系数，即得结果；
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．
【解析】
（1）由已知，x3+ax2-bx+c=（x-x1）（x-x2）（x-x3），
比较两边系数，得x1+x2+x3=-a，x1x2+x2x3+x3x1=-b，x1x2x3=-c．
（2）由已知f′（x）=3x2+2ax-b=0有两个不等的实根α，β，
因为-1＜α＜0＜β＜1，由实根分布，则
由b∈Z，|b|＜2，b＞0，则b=1．
再代入上述不等式，
又有：2a＞-2，2a＜2，且a∈Z，
∴a=0，
所以f′（x）=3x2-1
则，
且f（x）在处取得极大值取得极小值，
故f（x）=0要有三个不等根，则必须
即：，⇒
解得．
∴此方程三个根两两不等时c的取值范围是：．