Question

设函数．
（Ⅰ）试确定f₃（x）和f₄（x）的单调区间及相应区间上的单调性；
（Ⅱ）说明方程f₄（x）=0是否有解，并且对正整数n，给出关于x的方程f_n（x）=0的解的一个一般结论，并加以证明．

Answer

（I）写出要用的两个函数的解析式，对两个函数求道，写出两个函数的单调区间，第一个函数在整个定义域上是一个减函数，第二个函数有增有减．
（II）根据上一问作出函数的最小值，猜想证明函数在即偶性不同时，函数对应的方程的解的情况
【解析】
（Ⅰ），
f3′（x）=-1+x-x2=-（x2-x+1）＜0，
y=f3（x）为R上的减函数（1分）
，
f4′（x）=-1+x-x2+x3=（x-1）（x2+1）

x （-∞，1） （1，+∞）
f4′（x） - +
f4（x） 减 增

y=f4（x）在（-∞，1）上减，在（1，+∞）上增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
所以f4（x）=0无解（6分）
猜想n为偶数时，fn（x）=0无解（8分）
证明：当n为偶数时，设n=2k（k∈N*）则fn′（x）=-1+x-x2+x3-x4++（-1）nxn-1=（x-1）（1+x2+x4++x2k-2）
在（-∞，1）上减，在（1，+∞）上增，
=
所以n为偶数时fn（x）=0无解．
猜想n为奇数时，fn（x）=0有唯一解
证明：设n=2k+1（k∈N*）
；
所以y=fn（x）为减函数，
而f（1）＞0，，
所以方程有唯一解．