Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线y=-x+1代入抛物线y2=2px（p＞0），得y2+2py-2p=0，所以y1+y2=-2p，y1y2=-2p，x1x2=（1-y1）（1-y2）=1-（y1+y2）+y1y2=1+2p-2p=1．因为以弦AB为直径的圆恰好过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=1-2p=0，由此能求出抛物线的方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
y=-x+1，
x=1-y，
则：y2=2p（1-y），
y2+2py-2p=0，
y1+y2=-2p，y1y2=-2p，
x1x2=（1-y1）（1-y2）=1-（y1+y2）+y1y2=1+2p-2p=1．
∵以弦AB为直径的圆恰好过原点，
∴OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0
∵x1x2+y1y2=1-2p=0
∴p=．
∴抛物线的方程为：y2=x．