Question

设f （n）为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．记f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），则f₂₀₀₇（2007）=（ ）
A．20
B．4
C．42
D．145

Answer

由题意求出f（2007）的值，然后求出f（f（2007））的值，顺次进行，求出它的周期即可得到结果．
【解析】
由题意f（2007）=22+02+02+72=53，
f（f（2007））=f（53）=52+32=34，
f（34）=32+42=25，
f（25）=22+52=29，
f（29）=22+92=85，
f（85）=82+52=89，
f（89）=82+92=145，
f（145）=12+42+52=42，
f（42）=20，
f（20）=4，
f（4）=16，
f（16）=37，
f（37）=58，
f（58）=f（85）…8次一个循环，
即f（k+8n）=f k（n），
∵f1（n）=f （n），fk+1（n）=f[fk（n）]
∴f2007（2007）=f（f（f（f（f（…f（2007）…）））））），
共有2007次计算，
所以表达式取得206次计算后，经过250次循环，
∵250=8×31+2
∴余下一次计算是f（89），
∵f（89）=82+92=145，
∴f2007（2007）=145．
故答案为：145．