Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*，n＞1）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）设f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）将已知的等式两边同时乘以an（1-anan-1）得到an-1-an-2an-1an=0，两边同除以anan-1，利用等差数列的定义得到
证明．
（2）利用数列是等差数列求出，进一步求出{anan+1}的通项，根据其特点，利用裂项求和的方法求出数列{anan+1}的前n项和Sn；
（3）将（2）中的Sn代入fn（x），利用导数的运算法则求出bn=f'n（2），根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的乘积，选择错位相减的方法求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）证明：当n≥2时，由得：an-1-an-2an-1an=0
两边同除以anan-1得：（2分）
∴是以为首项，d=2为公差的等差数列（4分）
（2）由（1）知：，
∴（6分）
∴（8分）
（3），
∴bn=n•22n
Tn=4+2×42+3×43+…+n×4n
4Tn=42+2×43+3×44+…+（n-1）×4n+n×4n+1
相减得：
∴（12分）