Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x）+f（y）=f（ x+y）．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）如果当x∈（-∞，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在满足条件（2）求不等式f（1-2a）+f（4-a²）＞0的a的集合．

Answer

（1）由奇函数的定义知，需要证明出f（-x）=-f（x），观察恒等式发现若令y=-x，则问题迎刃而解；
（2）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x1）-f（x2）与0的大小即可．
（3）根据奇函数把不等式变形，再根据单调性转化不等式的解之即可．
（1）、证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，
得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），
得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函数．
（2）、任取-1＜x1＜x2＜1，则x1-x2＜0，
由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x1-x2）＞0
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＞0
故有f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在（-1，1）上是单调递减函数．
（3）、任取x1＜x2，则x1-x2＜0，
由题设x＜0时，f（x）＞0，可得f（x1-x2）＞0
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＞0
故有f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在R上是单调递减函数．
由题意可知：f（x）奇函数，f（1-2a）+f（4-a2）＞0
所以f（1-2a）＞f（a2-4）
又因为f（x）在R上是单调递减函数．
所以1-2a＜a2-4，
解得：．