Question

已知函数
（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）在x=x₁，x=x₂处取极值，且满足|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer

（1）若f（x）在[1，3]上单调递增，则函数的导数在[1，3]上大于0恒成立，得到关于x的二次函数，只要二次函数图象当x∈[1，3]时恒在x轴上方即可，再利用二次函数根的分布来判断即可．
（2）若f（x）在x=x1，x=x2处取极值，则x1，x2是方程g（x）=ax2+2x-5a=0的两根，利用韦达定理可得，把|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|中的f（x1）和f（x2）用x1，x2表示，化简，即可求出a的范围．
【解析】
（1）∵，
∴由f（x）在[1，3]上单调递增得：．
令g（x）=ax2+2x-5a，则得；
或；
又当a=0时，g（x）=2x＞0在[1，3]上恒成立，∴
再由．
综上，
（2）∵f（x）在x=x1，x=x2处取极值，∴x1，x2是方程g（x）=ax2+2x-5a=0的两根，
∴，
∴由，
∴．