Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）为数列{b_n}的前n项和，求；
（3）若总存在正自然数n，使S_n+n-2b_n＜m成立，求m的取值范围．

Answer

（1）将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n），从而可得数列{an-n}是等比数列，进而可得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）结论可求出bn，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后再求极限．
（3）构建函数，用导数的方法可知f（x）在[1，+∞）单调递减，从而Sn+n-2bn单调递增．要使总存在正自然数n，Sn+n-2bn＜m成立，只需求 Sn+n-2bn的最大值，从而得解．
【解析】
（1）an+1=2an-n+1，∴an+1-（n+1）=2（an-n），∴，
又a1-1=-2，∴数列{an-n}是以2为公比、以-2为首项的等比数列，
∴an-n=（-2）•2n-1=-2n，∴an=n-2n
（2）由（1）得：，∴，∴，
令，则，
两式相减得：
∴，即，∴=2．
（3）∵
令，则，
当x≥1时，，
∴f（x）在[1，+∞）单调递减，∴Sn+n-2bn单调递增，∴，
∴，∴若总存在正自然数n，使Sn+n-2bn＜m成立，则．