Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a₁=1，且；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列．

Answer

（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+an，命题得证；
（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．
【解析】
（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P．
（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，
∴anan与中至少有一个属于A，
由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an
故anan∉A．
从而1=∈A，a1=1．
∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），
故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵＜＜…＜＜，
∴，，…，，
从而++…++=a1+a2+…+an，
∴且；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，
有，，即a5=a2•a4=a32，
∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，
由A具有性质P可知∈A．
由a2•a4=a32，得∈A，
且1＜，∴，
∴，
即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列．