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如图1,椭圆的下顶点为C,A,B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动,满足,...

如图1,椭圆manfen5.com 满分网的下顶点为C,A,B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动,满足manfen5.com 满分网,其中O为坐标原点,现沿x轴将坐标平面折成直二面角.如图2所示,在空间中,解答下列问题:
(1)证明:OC⊥AB;
(2)设二面角O-BC-A的平面角为α,二面角O-AC-B的平面角为β,二面角O-AB-C的平面角为θ,求证:cos2α+cos2β+cos2θ=1;
(3)求三棱锥O-ABC的体积的最小值.
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(1)由题设知,沿x轴将坐标平面折成直二面角后,OC⊥x轴,且OC⊥y轴,所以OC⊥面AOB,由此能够证明OC⊥AB. (2)由,OA⊥OB,设直线OA方程为y=kx,OB的方程为y=-,解方程组,得A(,),解方程组,得B(-,),,OB=,OC=2,以O为原点,以OA为x轴,OB为y轴,OC为z轴,建立空间直角坐标系,由向量法能够证明cos2α+cos2β+cos2θ=1. (3)由OC⊥面OAB,知三棱锥O-ABC的高OC=2,底面积S=S△0AB==≥3,由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最小值. (1)证明:由题设知,沿x轴将坐标平面折成直二面角后, ∵OC⊥x轴,且OC⊥y轴, ∴OC⊥面AOB, ∵AB⊂面AOB, ∴OC⊥AB. (2)证明:∵,∴OA⊥OB, ∴设直线OA方程为y=kx,OB的方程为y=-, 解方程组,得A(,),(舍去x<0的解) 解方程组,得B(-,),(舍去x>0的解) ∵O(0,0), ∴,OB=,OC=2, ∵OC⊥面AOB,OA⊥OB, ∴以O为原点,以OA为x轴,OB为y轴,OC为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(),B(0,,0),C(0,0,2), ∴,, 设平面ABC的法向量,则有 , ∴, ∵平面OBC的法向量, ∴=, ∵平面OAC的法向量, ∴, ∵平面OAB的法向量, ∴, ∴cos2α+cos2β+cos2θ==1. (3)【解析】 ∵OC⊥面OAB, ∴三棱锥O-ABC的高OC=2, 底面积S=S△0AB==≥3, 当且仅当k=0时,取最小值. ∴三棱锥O-ABC的体积的最小值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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