Question

已知f（x+1）=x²-4，等差数列{a_n}中，，a₃=f（x），其中x＞0．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值．

Answer

（I）首先根据所给的函数式f（x+1）=x2-4，求出f（x）的表达式，则可写出数列的第二项和第三项，根据等差数列特点求出x的值；
（II）根据（I）求出通项公式，然后分别求出a2，a4，a6，a8，a10的值，从而求出所求．
【解析】
（I）令t=x+1，则x=t-1．
∵f（x+1）=x2-4
∴f（t）=（t-1）2-4=t2-2t-3
即f（x）=x2-2x-3．…（3分）
∴a1=f（x-1）=x2-4x…（4分）
∴a3=f（x）=x2-2x-3…（5分）
∵数列{an}是等差数列
∴
解得x=0或x=3…（7分）
又∵x＞0∴x=3即x的值是3．…（8分）
（Ⅱ）当x=3时，a1=-3，a2=-，∴an=，…（10分）
∴a4=
∴a2+a4+a6+a8+a10=．…（13分）