Question

设f（x）是一次函数，f（0）、f（3）、f（24）成等比数列，且f（0）＞0，函数f（x）的图象与二次函数y=x²+6的图象有且只有一个公共点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）设g（x）=mx²+4mx-f（x），若g（x）在区间[1，4]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意，可用待定系数法将一次函数解析式设为f（x）=ax+b（a≠0），由于f（0）、f（3）、f（24）成等比数列，由此可等到关于a，b的一个方程，又函数f（x）的图象与二次函数y=x2+6的图象有且只有一个公共点即由两者联立的方程组只有一个解，消元后利用判别式为0得到另一个关于a，b的方程，将两方程联立即可求得待定系数得到一次函数的解析式；
（II）由（I）可得g（x）=mx2+4mx-f（x）=mx2+（4m-4）x-2，可按二次项系数的符号分为两类，将g（x）在区间[1，4]上是减函数转化为关于实数m的不等式，分别解出实数m的取值范围再求三者的并集即可得到所求的答案
【解析】
（I）设f（x）=ax+b（a≠0）…（1分）
由题意可得[f（3）]2=f（0）•f（24）
即（3a+b）2=b•（24a+b）
整理：a=2b…①…（3分）
∵函数f（x）与y=x2+6图象有且只有一个公共点
∴ax+b=x2+6有两相等实根
即△=a2-4•（-b+6）=0
整理：a2+4b-24=0…②…（5分）
①②联立得或
又∵f（0）＞0，∴b＞0故（舍）
综上所述：f（x）=4x+2…（6分）
（Ⅱ）g（x）=mx2+4mx-f（x）=mx2+（4m-4）x-2
对称轴为
10 …（8分）
20 …（10分）
30 m=0时g（x）=-4x-2符合题意…（12分）
综上所述：m取值范围为…（13分）