Question

设，x=f（x）有唯一解，，f（x_n）=x_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若，且，求证：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由，可以化为ax（x+2）=x，令△=（2a-1）2=0求出a的值，代入f（x）得到，利用对称数列的通项公式求出，进一步求出x2004的值；
（II）由已知求出bn根据其特点将其写成，利用裂项求和的方法求出b1+b2+…+bn-n得证．
（III）将代入得到恒成立，求出，
进一步求出m的值．
解（Ⅰ）由，可以化为ax（x+2）=x，
∴ax2+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）2=0得
当且仅当时，x=f（x）有惟一解x=0，
从而…（1分）
又由已知f（xn）=xn+1得：，
∵，
即
∴数列是首项为，公差为的等差数列…（3分）
∴，
∴
又∵，
∴，即…（4分）
∵…（5分）
故…（6分）
（Ⅱ）证明：∵，
∴…（7分）
∴
=…（8分）
∴
=…（10分）
（Ⅲ）由于，若恒成立，
∵，
∴，
∴m＞2，而m为最小正整数，
∴m=3…（12分）