Question

已知函数f（x）=ax³+（2a-1）x²+1，当x=-1时，函数f（x）有极值．
（I）求实数a的值；
（II）求函数f（x）在在[-1，1]的最大值和最小值．

Answer

（I）先求出函数的导函数，然后根据当x=-1时，函数f（x）有极值，则f'（-1）=0建立等式，解之即可；
（II）根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解析】
（I）∵f′（x）=3ax2+2（2a-1）x…（2分）
∴f′（-1）=3a-2（2a-1）=0，…（3分）
∴a=2．…（4分）
（II）函数f（x）=2x3+3x2+1，…（5分）
得f′（x）=6x2+6x，…（6分）
令f′（x）=0，即6x2+6x=0，解得x1=0，x2=-1；…（7分）
 f（-1）=0  f（0）=1，f（1）=6                 …（9分）
∴f（x）在[-1，1]的最大值为f（1）=6，最小值f（0）=1．