Question

设P：关于x的y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的减函数．Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值围．

Answer

由函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数可得P；由函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．可得ax2-x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求Q，而P和Q有且仅有一个正确即是①P正确而Q不正确，②Q正确而P不正确，两种情况可求a的范围
【解析】
由函数y=ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数可得，0＜a＜1
即使P正确的a的取值范围是：0＜a＜1（2分）
由函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．可得ax2-x+a＞0恒成立
（1）当a=0时，ax2-x+a=-x不能对一切实数恒大于0．
（2）当a≠0时，由题意可得，△=1-4a2＜0，且a＞0
∴a
故Q正确：（4分）
①若P正确而Q不正确，则即，（6分）
②若Q正确而P不正确，则即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范围是：或a＞1（10分）