Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）求函数f（x）在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer

（1）根据函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．
（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．
【解析】
（1）函数f（x）=x3-3ax2+2bx的导数为f′（x）=3x2-6ax+2b
∵函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1
即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=，b=-
∴f（x）=x3-x2-x，f′（x）=3x2-2x-1
令f′（x）=0，即3x2-2x-1=0，解得，x=-，或x=1
又∵当x＞1时，f′（x）＞0，当-＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-时，f′（x）＞0，
∴函数在x=-时有极大值为f（-）=
函数在x=1时有极小值为f（1）=-1
（2）函数f（x）在闭区间[-2，2]上的f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x -2 （-2，-） - （-，1） 1 （1，2） 2
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -10 增 减 -1 增 2

∴当x=2时函数有最大值为2，当x=-2时，函数有最小值为-10