Question

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙
（1）求h_甲和h_乙关于m_A、m_B的表达式；当时，求证：h_甲=h_乙；
（2）设，当m_A、m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h，试问能否适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h和h_乙≥h同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

Answer

（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．
（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．
（3）先写出结论：不能由（2）知h=．因为h甲h乙≤，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h和h乙≥h同时成立，但等号不同时成立．
【解析】
（1）甲：买进A的满意度为hA1=，卖出B的满意度为hB1=；
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲===；
乙：卖出A的满意度为：hA2=，买进B的满意度为：hB2=；
所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h乙===；
 当时，h甲==，
h乙==，所以h甲=h乙
（2）设mB=x（其中x＞0），当时，
h甲=h乙==≤==；
当且仅当x=，即x=10时，上式“=”成立，即mB=10，mA=×10=6时，
甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为
（3）不能由（2）知h=．因为h甲h乙≤
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h和h乙≥h同时成立，但等号不同时成立．