Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足：b_n=na_n，且数列{b_n}的前n项和为（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列；
（3）抽去数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，若{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）由题意得：a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n，再由n=1和n=2分别求出a1和a2．
（2）由a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n得：a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1=nSn+1+2（n+1），所以Sn+1=2Sn+2，Sn+1+2=2（Sn+2），由S1+2=a1+2=4≠0知，列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（3）由Sn+2=4•2n-1知数列{cn}为22，23，25，26，28，29，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列．由此入手能证明．
【解析】
（1）由题意得：a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n；（1分）
当n=1时，则有：a1=（1-1）S1+2，解得：a1=2；
当n=2时，则有：a1+2a2=（2-1）S2+4，即2+2a2=（2+a2）+4，解得：a2=4；
∴a1=2，a2=4（2分）
（2）由a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n①得：a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1=nSn+1+2（n+1）②（3分）
②-①得：（n+1）an+1=nSn+1-（n-1）Sn+2，
即：（n+1）（Sn+1-Sn）=nSn+1-（n-1）Sn+2即：Sn+1=2Sn+2；（5分）
∴Sn+1+2=2（Sn+2），由S1+2=a1+2=4≠0知：
数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（8分）
（3）由（2）知：Sn+2=4•2n-1，即Sn=4•2n-1-2=2n+1-2（9分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1-2）-（2n-2）=2n对n=1也成立，
即an=2n（n∈N*）．（10分）
∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，
它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（11分）
∴当n=2k-1（k∈N*）时，Tn=（c1+c3+…+c2k-1）+（c2+c4+…+c2k-2）=（22+25+…+23k-1）+（23+26+…+23k-3）
=，，
（14分）
∴当n=2k（k∈N*）时，Tn=（c1+c3+…+c2k-1）+（c2+c4+…+c2k）=（22+25+…+23k-1）+（23+26+…+23k）
=，
，
∴．（16分）