Question

已知函数f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，则函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值为（ ）
A．28
B．26
C．27
D．

Answer

由题意，可先求出函数F（x）=[f（x）]2+f（x2）定义域，再化简F（x）=[log3x+2]2+log3x2+2=（log3x）2+6log3x+6，令f（x）=t，将求复合函数最值的问题转化为F（x）=t2+6t+6=（t+3）2-3，t∈[2，]的最值问题，即可解出最大值选出正确选项
【解析】
由于f（x）=log3x+2，x∈[1，3]，函数F（x）=[f（x）]2+f（x2）
∴解得x∈[1，]，
∴f（x）∈[2，]，令f（x）=t
又F（x）=[log3x+2]2+log3x2+2=（log3x）2+6log3x+6
∴F（x）=t2+6t+6=（t+3）2-3，t∈[2，]，
当t=时，函数F（x）=[f（x）]2+f（x2）的最大值为
故选D