Question

在等差数列{a_n}，等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
（1）求数列{a_n}的公差d和数列{b_n}的公比q；
（2）是否存在常数x，y，使得对一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立？若存在，求出x和y；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据等差数列、等比数列的通项公式和a1=b1=1，a2=b2≠1，a8=b3，可知，d≠0，q≠1，列方程组即可求得数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；
（2）根据（1）的结论，求得等差数列、等比数列的通项公式，假设存在常数x，y，使得对一切正整数n，都有an=logxbn+y成立，利用对数的运算法则，转化为恒等式，对应系数相等，即可得到关于x和y的方程组，解此方程组即可得到结论．
【解析】
（1）∵a1=b1=1，a2=b2≠1，a8=b3，
∴1+d=q，1+7d=q2，（d≠0，q≠1）
解得：d=5，q=6；
（2）由（1）知：an=1+5（n-1）=5n-4，bn=6n-1，
要使对一切正整数n，都有an=logxbn+y成立，
即5n-4=（n-1）logx6+y，
∴，解得，
∴当时对，一切正整数n，都有an=logxbn+y成立．