Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）（文）求三棱锥A-BDE的体积．
（理）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer

（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B1D1⊥AE；
（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而平面ACF∥面B1DE．证得AC∥平面B1DE；
（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A-BDE的体积．
【解析】
（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，
∴B1D1⊥AE．（5分）

（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CEB1F，
∴四边形B1FCE是平行四边形，
∴CF∥B1E．（7分）
∵E，F是CC1、BB1的中点，∴，
又，∴．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B1DE．（9分）
又AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．（10分）

（3）（文）． （11分）
．（14分）
（理）∵AC∥面B1DE
∴A 到面B1DE 的距离=C到面B1DE 的距离（11分）
∴ （14分）