Question

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（2）设，当x∈D（D为（1）中所求）时函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先根据反函数的概念求出：f-1（x）=log2（x+1）再由log2（x+1）≤log4（3x+1），利用对数函数的单调性转化为关于x的一元不等式组，解之即可．   
（2）先化简得到：再利用当x∈[0，1]时，单调递增，从而求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）f-1（x）=log2（x+1），…（3分）       
由log2（x+1）≤log4（3x+1），∴…．（6分）    
解得0≤x≤1，∴D=[0，1]---．（8分）
（2），…..（10分）
∴，…（12分）
当x∈[0，1]时，单调递增，
∴H（x）单调递增，…．（14分）
∴因此当时满足条件．  …（16分）