Question

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过M（3，0）的直线l交轨迹E于A、B两点，求以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程；
（Ⅲ）（理）设C（a，0），若四边形CAGB为菱形（A、B意义同（Ⅱ）），求a的取值范围．

Answer

（I）因为动点P满足|PF1|+|PF2|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F1、F2为焦点，长轴为4，再利用椭圆方程的求法求出．
（Ⅱ）用消参法来求即可，可先设过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3），于椭圆方程联立，得到含A，B点坐标的方程，再根据P是以线段OA，OB 为邻边的平行四边形OAPB的顶点，则点P坐标（x，y）满足x=x1+x1，y=y1+y2，消去参数，即可求出点P的轨迹方程．
（Ⅲ）要想满足四边形CAGB为菱形，只需|CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，由（Ⅱ）得，x1+x1，y1+y2用参数k表示，则线段线段AB中点D坐标可用k表示，再带参数求直线AB的垂直平分线方程，垂直平分线于x轴的交点为C点，用k表示，再求范围即可．
【解析】
（Ⅰ）双曲线的方程可化为，则|F1F2|=  
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|= 
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆         
由； 
∴所求轨迹方程为 
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过M（3，0）的直线l方程为y=k（x-3）
由  得 （1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，△＞0，即k2＜时，x1+x2=  x1x2=
又设动点P（x，y），则
消去参数k，得P点轨迹方程为x2+4y2-6x=0 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，线段AB中点D坐标为（，），即D（，）
过点D垂直于AB的直线方程为y-=（x-）
令y=0，得 x=
依题意，当CA=CB，即C点在线段AB中垂线上时，四边形CAGB为菱形，
∴a=  （k2＜）
∴a的取值范围为（0，1）