Question

（文）已知以a为首项的数列{a_n}满足：
（1）若0＜a_n≤6，求证：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若（m∈N﹡），试求数列{a_n}的前m项的和s_m．

Answer

（1）根据an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]，当an∈（3，6]时，则an+1=an-3∈（0，3]，故知an+1∈（0，6]，所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6，
（2）分类讨论a的值，当a=1时满足题意的k=3t，同理证明a=2或4时，k和t的关系，再证明a=5或a≥7时k与t之间的关系，
（3）由m∈N*，可得2m-1≥1，故，然后证明当1＜k≤m时2k-1a的取值范围，根据数列求和的知识点求出{an}的前m项的和sm．
【解析】
（1）当an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]，当an∈（3，6]时，则an+1=an-3∈（0，3]，
故an+1∈（0，6]，所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6．  …（5分）
（2）①当a=1时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k=3t，t∈N*．
同理可得，当a=2或4时，满足题意的k=3t，t∈N*．
当a=3或6时，满足题意的k=2t，t∈N*．
②当a=5时，a2=2，a3=4，a4=1，故满足题意的k不存在．
③当a≥7时，由（1）知，满足题意的k不存在．
综上得：当a=1，2，4时，满足题意的k=3t，t∈N*；
当a=3，6时，满足题意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2m-1≥1，故，
当1＜k≤m时，
∴ak=2k-1a（k=1，2，…m）（15分）
∴Sm=a1+a2+•…+am=（1+2+…+2m-1）a=（2m-1）a=3---------（18分）．