Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+1，且f（0）=1
（1）求f（x）的表达式；
（2）当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，求实数m的最小值．

Answer

（1）根据题意可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）然后根据条件f（0）=1，知f（x）=ax2+bx+1，f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+2ax+a+bx+b+1，再由条件f（x+1）-f（x）=2x+1，知2ax+a+b=2x+1，求出a，b，c的值即可求出f（x）的解析式．
（2）由题设知当-1≤x≤1时，x2+1≤3x+m恒成立，所以当-1≤x≤1时，（x-）2≤m+恒成立，由此能求出实数m的最小值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（0）=1
∴c=1
∴f（x）=ax2+bx+1，
f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+2ax+a+bx+b+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x+1
∴2ax+a+b=2x+1
∴
∴a=1，b=0．
∴f（x）=x2+1
（2）∵当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，
∴由（1）知当-1≤x≤1时，x2+1≤3x+m恒成立，
∴当-1≤x≤1时，（x-）2≤m+恒成立，
当x=1时，（x-）2max=，
∴，
∴m≥5．
∴当-1≤x≤1时，f（x）≤3x+m恒成立，实数m的最小值是5．