Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若f（x）≤m²-2am+2对所有恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得 恒成立，即（a-1）2≤0恒成立，从而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x2+2x+1，可得g（x）=x2+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，可得 ，从而得出 ，解之即可得出k的取值范围．
（3）f（x）≤m2-2am+2对所有恒成立，等价于m2-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，从而构造函数g（a）=m2-2am，故可求实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴恒成立，即（a-1）2≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x2+2x+1
∴g（x）=x2+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴
∴，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m2-2am+2对所有恒成立，
等价于m2-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
构造函数g（a）=m2-2am，∴，∴m≥2或m≤-2