Question

已知实数a、b、c满足条件ab+bc+ca=1，给出下列不等式：①a²b²+b²c²+c²a²≥1；②；③（a+b+c）²＞2；④；其中一定成立的式子有    ．

Answer

利用不等式的性质以及均值不等式，逐一排除，不成立的可以举反例，成立的用性质判断．
【解析】
∵当a=b=c=时，①不成立，∴排除①
当a=2，b=3，c=-1时，②不成立，∴排除②
∵而（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）=3＞2，∴③成立
∵（ab+bc+ac）2≥3[（ab）（bc）+（bc）（ca）+（ca）（ab）]=3（a2bc+ab2c+abc2），∴④成立
故答案为③④