Question

已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．

Answer

（1）求函数的定义域即求使函数有意义的自变量的取值范围，本题中只需分母不为零即可，解不等式即可
（2）已知函数为奇函数，可利用特殊值代入的方法，列方程求出参数值，再检验一下充分性即可设
（3）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，通过证明f（x1）-f（x2）＞0即可证明函数在（0，+∞）上为减函数，关键是将f（x1）-f（x2）进行变形，以利于判断符号，一般变形为因式乘积形式
【解析】
（1）要使函数有意义，需4x-1≠0，解此不等式得x≠0，∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1），即-a=-+a，即a=-，经检验，a=-时，f（x）为奇函数
∴a=-，
（3）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=-===
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
∴＞1，＞1，＞1
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数