Question

已知函数f（x）=kx³-4x²-8在区间[2，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer

先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3-4x2-8在区间[2，8]上是单调函数转化成在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
恒成立，利用分离参数法分离出k，转化成恒成立问题，从而求出实数k的取值范围．
【解析】
∵f（x）=kx3-4x2-8
∴f'（x）=3kx2-8x
∵f（x）在[2，8]上单调
∴在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
若f'（x）≥0即3kx2-8x≥0成立，
则
∴
若f'（x）≤0即3kx2-8x≤0成立
则
∴
综上所示，k的取值范围为．