Question

在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N） （其中是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），，……是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

Answer

（1）由，知，所以，由此知{An}为“和谐点列”．
（2）由An（n，an），An+1（n+1，an+1），知．由，知bn=an+1-an．由此入手能够证明aq+am＞an+ap．
【解析】
（1）∵，
∴，
又∵，∴，
∴，，
显然bn+1＞bn，∴{An}为“和谐点列”．
（2）证明：∵An（n，an），An+1（n+1，an+1），
∴．又因为，
∴bn=an+1-an．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴aq-qp=aq-qq-1+aq-1-aq-2+…+ap+1-ap=bq-1+bq-2+…+bp．
∵{An}为“和谐点列”∴bn+1＞bn．
∴bq-1+bq-2+…+bm=（q-p）bp．
即aq-ap≥（q-p）bp．
同理可证：an-am=bn-1+bn-2+…+bm≤（n-m）bn-1．
∵bp＞bn-1，n-m=q-p．
∴（q-p）bq＞（n-m）bn-1．
∴aq-ap＞an-am．
∴aq+am＞an+ap．