Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求几何体C₁DABA₁的体积．

Answer

（I）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，A1D⊥平面ABCD，易得AC⊥BD，AC⊥A1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面A1BD，进而根据线面垂直的性质得到AC⊥A1B
（II）几何体C1DABA1的体积，有两部分组成，即，分别求出两个三棱锥的底面积和高，分别计算出它们的面积，即可得到求出几何体C1DABA1的体积．
证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥A1D，A1D∩BD=D∴AC⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD
∴AC⊥A1B…（5分）
【解析】
（Ⅱ）
∵AD1⊥平面ABCD∴AD1为几何体A1-ABD的高
∴…（7分）
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1∴CC1∥AA1，CC1=AA1
∴四边形A1C1CA是平行四边形
∴AC∥A1C1由（1）得AC⊥平面A1BD∴A1C1⊥平面A1BD
∴A1C1为几何体C1-A1BD的高
∵AD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴BD⊥A1D
∴…（10分）
∴…（12分）