Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长为5，求此抛物线的方程．

Answer

不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x，由题意可知OA⊥OB，从而有，则可求直线OB的方程，联立方程可求A的坐标，进而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2，代入可求P，进而可求抛物线的方程
【解析】
不妨设已知直角三角形为OAB，直线OA的方程为y=2x
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴=-，直线OB的方程为y=-x
联立方程可得2x2-px=0
∴，yA=p
同理可得xB=8p，yB=-4p
∵斜边AB=
由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2=325
∴325=
∵p＞0
∴p=2
∴抛物线的方程为y2=4x