Question

设x₁＜x₂，定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁，已知函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为   

Answer

根据题意可知当x≥0时，函数的定义域为[0，1]；当x≤0时，函数的定义域为[-1，0]．所以函数的定义域为[-1，1]此时长度为最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可为区间的最小长度等于1，所以最大值与最小值的差为1．
【解析】
当x≥0时，y=2x，因为函数值域为[1，2]即1=2≤2x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；
当x≤0时，y=2-x，因为函数值域为[1，2]即1=2≤2-x≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的长度的最大值为1-（-1）=2，最小值为1-0=1或0-（-1）=1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1
故答案为1