Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）在数列{a_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，按取出顺序组成新的数列{b_n}，写出数列{b_n}的前三项b₁，b₂，b₃，并求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由题意可得an+1-an=2，从而得到数列{an}为等差数列，代入等差数列的通项公式可得an．
（Ⅱ）由题意得bn=2n-1观察通项公式可知采用分组求和，再分别代入等比数列及等差数列的求和公式．
【解析】
（Ⅰ）∵点（an，an+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴an+1=an+2．（2分）．
∴an+1-an=2，即数列an是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意知：b1=1，b2=3，b3=7
bn=2•2n-1-1=2n-1
所以Sn=（21-1）+（22-1）+…+（2n-1）
=2n+1-n-2
  即数列{bn}的前n项和Sn==2n+1-n-2