Question

过点（4，4）引圆（x-1）²+（y-3）²=4的切线，（1）求切线长；（2）求切线方程．

Answer

（1）根据题意画出图形，根据PQ为圆M的切线，由切线性质得到MQ与PQ垂直，然后利用两点间的距离公式求出|MP|，由圆M的方程找出圆心M的坐标和半径r，在直角三角形MQP中，由勾股定理求出|PQ|的长，即为切线长；
（2）设出切线的方程为y-4=k（x-4），根据点到直线的距离公式，表示出圆心M到所设直线的距离d，因为直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，所以由d等于圆的半径r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

（1）连接MQ，由直线PQ为圆M的切线，得到MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，
由圆的方程得到圆心M（1，3），半径r=2，即|MQ|=2，
连接MP，由P（4，4），得到|MP|==，
在直角三角形MQP中，根据勾股定理得：切线长|PQ|==；
（2）设切线的斜率为k，则切线方程为：y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0，
圆心M到切线的距离d==r=2，即5k2-6k-3=0，
解得：k=或k=，
则切线方程为：（3+2）x-5y+8-8=0或（3-2）x-5y+8+8=0．