Question

（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（），并在f（）时求出α的值；
（2）试用α表示f（），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．

Answer

（理）（1）分别取x=1，y=0与x=0，y=1，确定f（），从而求出sinα的值，以及α的值；
（2）分别取x=，y=0与x=0，y=，求出f（）的值以及α的值即可．
（3）根据条件可得f（an）是首项为f（a1）=，公比为的等比数列，即可猜测：f（x）=x．
（文）（1）由若点A、B、C不能构成三角形，则三点共线，求出，，由向量的共线知识知：3（1-m）=2-m，从而求得m的值．
（2）分别讨论∠A，∠B，∠C=90°的情况，然后根据垂直的向量数量积为0，求得m的值即可．
（理）【解析】
（1）f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
则sinα=或…．（3分）
（2）令x=，y=0，f（）=f（）sinα=sin2α
令x=0，y=，f（）=（1-sinα）f（）=-sin2α+sinα
∴sinα=0或sinα=
∵α∈（0，π），∴α=…．（10分）
（3）∵n∈N，an=，所以
f（an）=f（）（n∈N）…（11分）
因此f（an）是首项为f（a1）=，公比为的等比数列    …（12分）
故f（an）=f（…（13分）．
猜测f（x）=x…（14分）．
（文）【解析】
（1）已知向量=（5-m，-3-m），
若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线．             …（1分）
∵=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴实数m=时，满足条件．…（5分）
（2）若△ABC为直角三角形，且
①∠A为直角，则，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=…（7分）
②∠B为直角，=（-1-m，-m）则，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-…（10分）
③∠C为直角，则，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=…（13分）
综上，m=或m=-或m=…（14分）