Question

根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额的F（t）（销售量与价格之积），
（Ⅰ）求商品的日销售额F（t）的解析式；    
（Ⅱ）求商品的日销售额F（t）的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据题设条件，由商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），能够求出F（t）的解析式．
（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，F（t）=-t2+30t+100=-（t-15）2+1225．当t=15时，F（t）max=1225；当20≤t≤40，t∈N时，F（t）=t2-92t+2100=（t-46）2-16，当t=20时，F（t）max=660．由此能求出商品的日销售额F（t）的最大值．
【解析】
（Ⅰ）据题意，商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），
得，
即F（t）=．
（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，
F（t）=-t2+30t+1000=-（t-15）2+1225，
∴当t=15时，F（t）max=1225；
当20≤t≤40，t∈N时，
F（t）=t2-92t+2100=（t-46）2-16，
∴当t=20时，F（t）max=660
综上所述，当t=15时，
日销售额F（t）最大，
且最大值为1225．