Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（1） 求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2） 证明：f（x）在R上单调递减．

Answer

（1）f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考虑取x=1，y=0代入，结合条件x＞0时，有0＜f（x）＜1，
可求f（0）；x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1⇒，从而可证
（2）要证函数在R上单调递减⇔x1＜x2时有f（x2）＜f（x1），结合已知条件构造f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，利用已知可证
证明：（1）对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=
（2）设x1＜x2则x1-x2＜0
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1
因为f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2）
所以函数是单调递减