Question

已知S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+a₄C_n⁴+…+a_nC_nⁿ，b_n=n•2ⁿ
（1）若{a_n}是等差数列，且首项是展开式的常数项的，公差d为展开式的各项系数和①求S₂，S₃，S₄，②找出S_n与b_n的关系，并说明理由．
（2）若，且数列{c_n}满足，求证：{c_n}是等比数列．

Answer

（1）利用二项式定理求出，a1=1，d=1，①利用组合数公式可求出S2，S3，S4，②可得出Sn=bn，再用倒序相加法证明．
（2）通项akCnk=，利用分组法，结合二项式定理的逆用、二项式系数的性质，求出 Tn==[]．再利用数列Tn与cn的关系求出cn=，从而易证{cn}是等比数列．
【解析】
（1）展开式的通项为=，令3-r=0，r=2，
常数项为（-2）2C62=60，a1=1，在展开式中令x=1，得出各项系数和为（1-2）6=1，即d=1．an=n．
①S2=C21+2C22=4，S3=C31+2C32+3C33=12，S4=C41+2C42+3C43+4C44=32
②Sn=bn
∵Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+4Cn4+…+nCnn
又 Sn=nCnn+（n-1）Cn n-1+（n-2）Cn n-2+（n-3）Cn n-3+…+Cn1
两式相加得2Sn=Cn1+n（Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnn-1）+nCnn=n（2n-Cn-Cnn）+2n=n•2n=b n
∴Sn=bn．
（2）∵akCnk=     
∴Sn=-=-（2n-1）=[（1+q）n-2n]．
∴Tn==[]．
当n=1时，c1=T1==．
当n≥2时 cn=Tn-Tn-1=[]=，对n=1时也成立．
∴cn=，{cn}是以为首项，以为公比的等比数列．