Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）证明{a_n+1}是等比数列，并求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer

（I）在Sn=2an-n中，把n=1，n=2，n=3分别代入递推公式可求a1，a2，a3
（II）由Sn=2an-n可得Sn-1=2an-1-（n-1），两式相减可整理可得，可证{an+1}是等比数列
（III）由bn=（2n+1）an+2n+1可得bn=（2n+1）•2n，利用错位相减可求
【解析】
（I）∵Sn=2an-n，
当n=1时，由S1=2a1-1，可得a1=1
当n=2时，由S2=a1+a2=2a2-2，可得a2=3
当n=3时，由S3=a1+a2+a3=2a3-3，可得a3=7
证明：（II）∵Sn=2an-n
∴Sn-1=2an-1-（n-1）
两式相减可得，an=2an-1+1，a1+1=2
∴
所以{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴an=2n-1
【解析】
（III）∵bn=（2n+1）an+2n+1
∴bn=（2n+1）2n
∴Tn=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n
2Tn=3•22+5•23+…（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1
两式相减可得，-Tn=3•2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）•2n+1
==2n+1（1-2n）-2
∴Tn=2+（2n-1）2n+1