Question

抛物线x²=4y的焦点为F，过点（0，-1）作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型．

Answer

设直线：AB：y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），求出F的坐标，利用AB和RF是平行四边形的对角线，对角线的中点坐标重合，直线与抛物线有两个交点，推出k的范围，整理出R的轨迹方程即可．
【解析】
设直线：AB：y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），由题意F（0，1）．
由 y=kx-1，x2=4y，
可得x2=4kx-4．
∴x1+x2=4k．
∵AB和RF是平行四边形的对角线，
∴x1+x2=x，y1+y2=y+1．
y1+y2=k（x1+x2）-2=4k2-2，
∴x=4k y=4k2-3，消去k，可得得x2=4（y+3）．
又∵直线和抛物线交于不同两点，
∴△=16k2-16＞0，
|k|＞1
∴|x|＞4
所以x2=4（y+3），（|x|＞4）