Question

已知函数的定义域为[s，t]，值域为[log_aa（t-1），log_aa（s-1）]．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数g（x）=，x∈[s，t]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer

（1）按题意可关于x的方程=logaa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t，等价于关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t，然后建立不等式关系，解之即可求出a的取值范围；
（2）先求出g（x）的导数为g'（x）=，令φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．根据函数g（x）的单调性可知M=g（4），根据a的范围可求出M的取值范围．
【解析】
（1）按题意，得=f（x）max=logaa（s-1）．
∴ 即 s＞2．
又=f（x）min=logaa（t-1）
∴关于x的方程=logaa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t．
⇔关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t．
⇔⇔0＜a＜． 故 0＜a＜．
（2）∵g（x）==+1，
g'（x）=．
令φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜s＜4＜t．
∵lna＜0，∴当x∈（s，4）时，g'（x）＞0；当x∈（4，t）是g'（x）＞0．
∴g（x）在[s，4]上递增，在[4，t]上递减．
故M=g（4）=loga9+1=loga9a．
∵0＜a＜，∴a＜9a＜1．
∴0＜M＜1．