设f（x）=ax（a＞0且a≠1），g（x）为f（x）的反函数．（1）当a=e...

设f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）为f（x）的反函数．
（1）当a=e（e为自然对数的底数）时，求函数y=f（x）-x的最小值；
（2）试证明：当f（x）与g（x）的图象的公切线为一、三象限角平分线时， manfen5.com 满分网

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（1）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，求出f'（x）=ex-1，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，故当x=0时，f（x）有最小值1．（2）显见，当0＜a＜1时，一三象限角平分线不可能是f（x）与g（x）的公切线，故a＞1．再设切点为（x，x）由有x=logae代入，即可求得．【解析】（1）由y=ex-x有y'=ex-1．解ex-1=0得x=0 显见当x＜0时，y'＜0．当x＞0时y'＞0．故y=ex-x在（-∞，0]单减，在（0，+∞）单增．从而在x=0处取得极小值e°-0=1，同时也是最小值．（2）显见，当0＜a＜1时，一三象限角平分线不可能是f（x）与g（x）的公切线，故a＞1．设切点为（x，x）由有x=logae代入（1）从而即e=logae．故ae=e．有．

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考点分析：

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