(I)写出要用的函数,对于函数求导,导函数是一个二次函数,配方整理看出导函数一定小于0,得到函数的单调性.
(II)首先验证当n=1时,只有一个解,在验证n大于等于2时的情况,求出导数,根据导数的正负看出函数的单调性,看出交点的个数.
【解析】
(Ⅰ),f2′(x)=-1+x-x2=-,
所以f2(x)在R单调递减.
(Ⅱ)f1(x)=1-x有唯一实数解x=1
由,
得fn′(x)=-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2.
(1)若x=-1,则fn′(x)=-(2n-1)<0.
(2)若x=0,则fn′(x)=-1<0.
(3)若x≠-1,且x≠0时,则.
①当x<-1时,<0,x2n-1+1<0,fn′(x)<0.
②当x>-1时,fn′(x)<0
综合(1),(2),(3),得fn′(x)<0,
即fn(x)在R单调递减.
又fn(x)=1>0,
=
=,
所以fn(x)在(0,2)有唯一实数解,从而fn(x)在R有唯一实数解.
综上,fn(x)=0有唯一实数解.