(I)根据所给的直三棱柱的条件,写出勾股定理得到两条线段垂直,根据侧棱与底面垂直,得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,得到线面垂直,进而得到线线垂直.
(II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,写出向量,设出平面的法向量,求出法向量,根据两个向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小.
【解析】
(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,
又 AC⊥C1C,且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1,又BC1⊂平面BCC1
∴AC⊥BC1
(II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3,BC=4,AA1=4,
∴A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),,
B1(0,4,4),
∴,
平面CBB1C1的法向量,
设平面DB1C的法向量,
则,的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小
则由令x=4,则y=-3,z=3
∴…(10分)
,则
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为