Question

己知实数m≠0，又，设函数．
（1）若m＞0，且f（-2）=f（2），求m的值；
（2）若对一切正整数k，有f（2k）＞f（2k-1），求m的取值范围．

Answer

可先由题条件，设函数，整理出函数的解析式．
（1）由f（-2）=f（2），建立起关于m的方程，解此方程求出m的值；
（2）由题意，对一切正整数k，有f（2k）＞f（2k-1）恒成立，代入函数解析式可得（4k2-1）m2k+m2k-1＞（4k2-4k）m2k-1+m2k-2恒成立，可将此不等式整理成关于k的二次函数，转化为g（k）=4（m2-m）k2+4mk-m2+m-1对一切正整数k恒成立的问题，由于最高次项的系数含有要求的参数，且其符号对二次函数的开口方向有关，故要对二次项系数分类讨论，解出每一类中的参数的范围，再求它们的并集得出m的取值范围
【解析】
，设函数．
可得f（x）=（x2-1）mx+mx-1
（1）由题知3m-2+m-3=3m2+m，即m-4（3m2+m）=3m2+m，
∴m-4=1，
∴m=±1，又m＞0，
∴m=1；
（2）由题知（4k2-1）m2k+m2k-1＞（4k2-4k）m2k-1+m2k-2，两边同除m2k-2，
得（4k2-1）m2+m＞（4k2-4k）m+1，
整理得4（m2-m）k2+4mk-m2+m-1＞0
记g（k）=4（m2-m）k2+4mk-m2+m-1
①当m2-m＞0，即m＞1或m＜0时，g（k）的对称轴为
故要使g（k）＞0对一切正整数k恒成立，只需g（1）＞0
即3m2+m-1＞0，解得或
∴m＞1或
②当m2-m=0，即m=0或1时，m=0时，等价于-1＞0恒成立，显然不符合题意m=1时，等价于4k-1＞0对一切正整数k恒成立，显然符合题意
③当m2-m＜0，即0＜m＜1时，g（k）是开口向下的抛物线，由图象知对一切正整数k，g（k）＞0不可能恒成立
综上所述或m≥1．