Question

已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，从而求出极值；
（II）先求出极大值与极小值，要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零即可．
【解析】
（I）f′（x）=x2-ax-2a2，令f′（x）=x2-ax-2a2=0，则  x=-a或x=2a
f′（x）=x2-ax-2a2＞0时，x＜-a或x＞2a
∴当x＜-a时，f′（x）＞0，当-a＜x＜2a时，f′（x）＜0，当x＞2a时，f′（x）＞0
∴x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=，
x=2a时，f（x）取极小值f（2a）=
（II）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，
由（1）的极值可得 解之得
∴实数a的取值范围是（，+∞）