Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁-BD-C的余弦值．

Answer

（1）欲证B1A∥面BDC1，欲证根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B1A与面BDC1内一直线平行即可，连接B1C，交BC1于点O，根据中位线可知OD∥B1A，又B1A⊄平面BDC1，OD⊆平面BDC1，满足定理所需条件；
（2）以点C为坐标原点，CC1为x轴，CA为y轴，CB为z轴，建立空间直角坐标系，求出向量和向量，设平面C1DB的法向量为n=（x，y，z）可求出，而平面BDC的法向量为，根据向量的夹角公式可求出二面角C1-BD-C的余弦值．
（1）证明：连接B1C，交BC1于点O，
则O为B1C的中点，
∵D为AC中点，
∴OD∥B1A，
又B1A⊄平面BDC1，OD⊆平面BDC1
∴B1A∥面BDC1（4分）

（2）【解析】
∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1，
∴CC1⊥面ABC，
则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图建系，则C1（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）
∴=（-3，1，0），=（-3，0，2）
设平面C1DB的法向量为n=（x，y，z）
则n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量为=（3，0，0）
∴二面角C1-BD-C的余弦值：cos＜