Question

设x、y∈R，在直角坐标平面内，，且．设点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时此时||的值是多少？

Answer

（Ⅰ）根据，可判断曲线C为椭圆，欲求 轨迹C的方程，只需求出椭圆的长半轴长，短半轴长，由，，求出a，b即可．
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A，B两点为直线y=kx+1与椭圆交点，可用两曲线方程联立，求x1x2+y1y2，再根据时，x1x2+y1y2=0，就可求出k只，再用弦长公式求||．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴=4，
它表示以点、的椭圆，其方程为，这就是所求C的方程．
（Ⅱ设直线y=kx+1与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
由消去y得4x2+（kx+1）2=4，整理得（4+k2）x2+2kx-3=0
其△=（2k）2+12（4+k2）＞0恒成立．
由韦达定理得，．
则y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=+1=，
|x1-x2|==
由得，x1x2+y1y2=0，即+=0，
解得，
此时||=|x1-x2|=．
．综上得，当时，，此时||的值是．