Question

在数列{a_n}中，，．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，并证明你的猜想．

Answer

（Ⅰ）通过递推关系，得到，利用n=1，2，3，直接求S1，S2，S3的值；
（Ⅱ）猜想Sn的表达式，利用数学归纳法，第一验证n=1成立，再证明n=k+1也成立即可．
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-i，∴，∴（3分）∴（6分）
（Ⅱ）猜想，（7分）
下面用数学归纳法证明：
1）当n=1时，，猜想正确；（8分）
2）假设当n=k时猜想正确，即，
那么，即n=k+1时猜想也正确．（12分）
根据1），2）可知，对任意n∈N+，都有．（13分）